14-数值稳定性+模型初始化和激活函数
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- 24.04.24：初稿
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14-数值稳定性+模型初始化和激活函数
1. 数值稳定性
数值稳定性是深度学习中比较重要的点，特别是当神经网络变得很深的时候，数值通常很容易变得不稳定。
1.1 神经网络的梯度
考虑d层神经网络
t表示层数，$h^{t-1}$表示第t-1层的输出，经过一个$f_{t}$函数后，得到第t层的输出。
最终输出y的表示：输入x经过若干层(d层)的函数作用，最后被损失函数作用得到输出y。
计算损失函数L关于第t层参数$W_{t}$的梯度
由链导法则得到上图中乘积公式
需要进行d-t次矩阵乘法（为什么是矩阵乘法？答：由于所有的h都是一些向量，导数中分子分母均为向量，所以求导得到的是矩阵，维数为[分子维度]x[分母维度]，可以参考第6节视频和笔记）。这也是导致数值稳定性问题的主要因素，由于做了太多次的矩阵乘法。
1.2 数值稳定性的常见两个问题
梯度爆炸
假设梯度都是一些比1大的数比如1.5，做100次乘积之后得到$4\times 10^{17}$，这个数字很容易带来一些浮点数上限的问题（需了解更多请参考计算机系统-计算机中浮点数的存储方式）。
梯度消失
假设梯度都是一些比1小的数比如0.8，做100次乘积之后得到$2\times10^{-10}$，也可能会带来浮点数下溢的问题。
1.3 例子：MLP
此处我们着重探讨1.1节中所述的求梯度时所做的d-t次矩阵乘法，并以一个实例MLP来探讨其结果的具体形式。
第一行公式，定义$h^{t}$和$h^{t-1}$(均为向量)的函数关系$f_{t}$，第t层的权重矩阵作用于t-1层的输出$h^{t-1}$后经过激活函数$\sigma$得到$h^{t}$，注意激活函数$\sigma$逐元素计算。
第二行公式：这里用到链导法则，激活函数$\sigma$先对内部向量逐元素求导，然后把求导后这个向量变成对角矩阵（可以理解为链导法则中内部向量$W_{t}h_{t-1}$对自身进行求导，变成一个nxn的对角矩阵，更多请参考邱锡鹏 《神经网络与深度学习》 图片1）
图片1. 引自邱锡鹏 《神经网络与深度学习》附录：数学基础 ↩
- 视频中勘误说明：链导法则中$\frac{\partial W^{t}h^{t-1}}{\partial h^{t-1}}= W^{t}$而不是$\left (W^{t} \right )^{T}$（这点由分子分母维度也容易推出），故最终求导结果包含$W^{t}$，而不是其转置。
1.3 梯度爆炸
1.3.1 使用ReLU作为激活函数
由于激活函数Relu求导后或者是1或者是0，变为对角矩阵的斜对角线元素后，与$W^{i}$做乘积，斜对角线为1的部分会使得W中元素保留，最终该连乘式中有一些元素来自$\prod\left ( W^{i} \right )$ ，如果大部分$W^{i}$中 值都大于1，且层数比较大，那么连乘之后可能导致梯度爆炸的问题。
1.3.2 梯度爆炸问题
值超出值域（infinity）
- 对于16位浮点数尤为严重（数值区间 [6e-5 , 6e4]），GPU用16位浮点数更快
对学习率敏感
如果学习率太大→大参数值→更大的梯度，如此循环几次，容易导致梯度爆炸
如果学习率太小→训练无进展
我们可能需要在训练过程中不断调整学习率
1.4 梯度消失
1.4.1 使用Sigmoid作为激活函数
- 蓝色曲线为函数值
- 黄色曲线为梯度，注意到当输入x值取±6时，此时梯度已经变得很小，由图也可以看出，当输入值稍大或稍小都很容易引起小梯度。
所以最终连乘式中$\prod diag\left ( \sigma ^{‘}\left ( W^{i}h^{i-1} \right ) \right )$项乘出来会很小，导致整个梯度很小，产生梯度消失问题。
1.4.2 梯度消失的问题
梯度值变为0
- 对16位浮点数尤为严重
训练没有进展
- 不管如何选择学习率，由于梯度已经为0了，学习率x梯度=0
- 对于底部层尤为严重
- 仅仅顶部层训练得较好。第t层导数包含d-t个矩阵乘积，越往底层走，t越小，乘得越多，梯度消失越严重，所以底部层效果更差。
- 无法让神经网络更深。只能把顶部层训练得比较好，底部层跑不动，这和给一个浅的神经网络没有什么区别。
2. 模型初始化和激活函数
2.1 让训练更加稳定
我们的一个核心目标是如何让训练更稳定，梯度值不要太大也不要太小
- 目标：让梯度值在合理的范围内
- 例如 [1e-6, 1e3]
常用方法：
- 将乘法变加法：
- ResNet（跳跃连接，如果很多层，加入加法进去）
- LSTM（引入记忆细胞，更新门，遗忘门，通过门权重求和，控制下一步是否更新）
归一化：
梯度归一化（归一化均值，方差）
梯度裁剪(clipping)：比如大于/小于一个固定的阈值，就让梯度等于这个阈值，将梯度限制在一个范围中。（可以缓解梯度爆炸）
- 合理的权重初始和激活函数：本节课讲述重点
- 将乘法变加法：
下面我们重点探讨最后一种方法：合理的权重初始和激活函数
2.2 基本假设：让每层的均值/方差是一个常数
将每层的输出和梯度都看做随机变量
比如第i层有100维，就将输出和梯度分别看成100个随机变量
让它们的均值和方差都保持一致
我们的目标，这样不管神经网络多深，最后一层总与第一层差不多，从而不会梯度爆炸和消失
根据我们的假设，可以列出如下方程式：
2.3 权重初始化
- 在合理值区间里随机初始参数
- 训练开始的时候更容易有数值不稳定
- 远离最优解的地方损失函数表面可能很复杂
- 最优解附近表面会比较平
- 使用N(0, 0.01)分布来初始可能对小网络没问题，但不能保证深度神经网络
2.4 例子：MLP
下面我们以MLP为例，考虑需要什么条件，才能满足2.2节的假设。
2.4.1 模型假设
- 每一层权重中的变量均为独立同分布，并设出均值、方差。
- 每一层输入的变量独立于该层权重变量。同时输入变量之间独立同分布。
- 假设没有激活函数(先简化分析，之后会考虑有激活函数的情况)，可以求得该层输出的期望为0。
此处用到了一个重要性质：
更多均值、方差运算可以参考期望、方差、协方差及相关系数的基本运算
2.4.2 正向方差
第二行的计算中仍然用到了2.4.1节的期望的重要性质：如果两个变量独立，它们乘积的均值=均值的乘积，再结合w的期望为0(注意w和h独立，w之间独立同分布)，即有第二行末项期望为0。
最后一行由于wi,j独立同分布，方差相同，加上做了hj独立同分布的假设，所以可以写成 [t-1层输出维度] x [t层权重方差] x [t-1层输出方差] 的形式
此时，我们回过头来看我们的终极目标2.2节的假设，每层输出期望为0我们已经可以满足(2.4.1节已经推导出)，而方差相同这一目标，通过上图的推导，我们发现需要<$n_{t-1}\gamma _{t}=1$。
2.4.3 反向均值和方差
反向的情况和正向的类似，不过此时我们需要满足的式子变为$n_{t}\gamma _{t}=1$。
2.4.4 Xavier初始
上述推导带来的问题：难以同时满足$n_{t-1}\gamma _{t}=1$和$n_{t}\gamma _{t}=1$。（需要每层输出的维度都相同）
采用Xavier折中解决，不能同时满足上面两式，转而满足 [上面两式做加法后除以2] 得到的式子，用两种分布进行初始化（每层方差、均值满足推导式）。
如果能确定每层输入、输出维度大小，则能确定该层权重的方差大小。
- 权重初始化方式：正态分布、均匀分布，均值/方差满足Xavier的假设。
2.4.5 假设线性的激活函数
真实情况下，我们并不会用线性的激活函数（这样相当于没有进行激活），这里为了简化问题，假设激活函数是线性的。
- 正向
上述推导表明，为了使得前向传播的均值为0，方差固定的话，激活函数必须f(x)=x，这种恒等映射。
- 反向
PPT上的推导似乎有点问题（上图中第二行方程），笔者重新进行了下述推导，读者也可自行推导验证：
通过正向和反向的推导，我们可以得出的【结论】是：当激活函数为f(x)=x，这种恒等映射更有利于维持神经网络的稳定性。
2.4.6 检查常用激活函数
对于常用激活函数：tanh，relu满足在零点附近有f(x)=x，而sigmoid函数在零点附近不满足要求，可以对sigmoid函数进行调整（根据Taylor展开式，调整其过原点）
3. 总结
- 当数值过大或者过小时，会导致数值问题。
常发生在深度模型中，因为其会对n个数累乘。
合理的权重初始值(如Xavier)和激活函数的选取(如relu, tanh, 调整后的sigmoid)可以提升数值稳定性。
4.Q&A
问题：nan, inf是怎么产生的以及怎么解决的？
NaN和Inf怎么产生的：参考出现nan、inf原因
如何解决：参考深度学习中nan和inf的解决以及训练网络loss出现Nan解决办法
问题：训练过程中，如果网络层的输出的中间层特征元素的值突然变成nan了，是发生梯度爆炸了吗？
问题：老师，让每层方差是一个常数的方法，您指的是batch normalization吗？想问一下bn层为什么要有伽马和贝塔？去掉可以吗
让每层方差是一个常数，和batch norm没有太多关系，(本节课介绍的方法是合理地初始化权重和设置激活函数)。batch norm可以让你的输出变成一个均值为0，方差差不多是一个固定值的东西，但它不一定能保证你的梯度。
(此处节选几个重要的Q&A，建议观看完整Q&A，获得更深的理解)